머리카락 보일라, 초등 수학 문제에 숨어있는 수학적 원리들!

머리카락 보일라,

초등 수학 문제에

숨어있는 수학적 원리들!

수학이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈 아파오는 친구들 많지요? 겁먹지 말고 계속 읽어보세요. 지피지기라면 백전백승이라는 말도 있는데, 우리가 만나는 수학 문제들은 어떤 특징들을 가지고 있나 한 번 같이 살펴보지 않을래요? 초등학교 교과서 속 수학 문제들에서는 눈여겨보아야 알아볼 수 있는 다양한 수학적 개념과 원리들을 찾아볼 수 있답니다. 이번에는 그 중에서 딱 두 가지만 ‘가볍게’ 알아보고자 합니다. 무슨 말인지 잘 모르겠지요? 익숙한 예시들을 통해서 지금부터 알아보도록 하겠습니다. 모든 문항들은 2013 개편 초등 수학 교과서를 기준으로 합니다.

■ 이상성

흔히 ‘이상형’이라는 말을 쓰지요? 이상(理想)이란 ‘생각할 수 있는 범위 안에서 가장 완전하다고 여겨지는 상태’를 일컫는 말입니다. 수학에서의 이상성이란 어떤 사물이나 현상에서 그 사물보다는 그것들에 대한 사유의 힘으로 얻는 개념을 뜻합니다. 즉 실생활적 요소들을 통해서 수학 원리들을 보다 쉽게 배우기 위해 불가능한 상황들을 가능하다고 가정하는 것입니다. 그럼 이상성이 적용된 사례들을 살펴볼까요?

○ 4학년 1학기 5단원 혼합계산 5차시 덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 섞여 있는 식을 계산할 수 있어요

▲ 초등 수학 4-1, 5단원 5차시(사진: 직접촬영)

‘물 1000mL가 들어 있던 물통에서 물 200mL를 덜어 냈습니다. 남은 물을 학생 4명에게 똑같이 나누어준 후, 추가로 학생 1명에게 물을 100mL씩 더 주었습니다. 학생 1명에게 준 물의 양을 알아봅시다.’라고 문제가 주어졌습니다. 이 문제에서 주목해야할 표현은 ‘똑같이’입니다. 이는 ‘모양, 성질, 분량 따위가 조금도 다른 데가 없이’라는 사전적 정의를 가지고 있는데요, 과연 정말로 4명의 학생들에게 한 방울도 차이가 나지 않도록 같은 양의 물을 나누어주는 게 가능할까요? 어렵겠지요? 그렇지만 우리는 ‘(1000-200)÷4+100=300’이라는 딱딱한 수식을 흥미롭게 알아보기 위하여 이렇게 이상성을 활용하는 것이랍니다.

○ 6학년 1학기 2단원 분수의 나눗셈 6차시 (자연수)÷(분수)를 할 수 있어요

▲ 초등 수학 6-1, 2단원 6차시(사진: 직접촬영)

‘마법 빗자루는 1분에 2/3km를 날아가고 미소네 집에서 마법 학교까지의 거리는 4km입니다. 마법 학교까지는 몇 분이 걸릴지 알아봅시다’라는 문제입니다. 미소가 1분이라는 일정한 시간 동안 2/3km라는 일정한 거리를 갈 수 있는 갈 수 있다는 것도 이상성의 사례입니다. (비록 미소는 마법사이긴 하지만)　실제 상황이라면 마법 학교까지 가는 중에 바람으로 인해 더 빠르게, 혹은 더 느리게 비행할 수도 있고, 비행을 방해하는 새들을 만날 수도 있고, 중간에 미소가 힘이 들어서 천천히 갈 수도 있을 테니까요. 이러한 이상성이 없어진다면 수학 교과서 속 수많은 문제들도 사라져버릴지 모르죠!

■ 유추적 사고

유추(類推)란 ‘같은 종류의 것 또는 비슷한 것에 기초하여 다른 사물을 미루어 추측하는 일’을 뜻합니다. 따라서 수학에서 적용되는 유추적 사고는 몇 개의 유사점을 기초로 특정한 사실에서 그와 유사한 다른 특수한 사실의 성질을 추론(어떠한 판단을 근거로 삼아 다른 판단을 이끌어 냄)하는 방법이라고 할 수 있습니다. 즉, 한 사례로부터 나온 방식을 유사한 다른 사례에 적용하는 것이 대표적인 예인 것이죠. 유추적 사고와 관련된 초등 수학 문제들에는 어떤 것이 있을까요?

○ 1학년 1학기 3단원 덧셈과 뺄셈 3차시 덧셈을 할 수 있어요

4학년 1학기 4단원 분수의 덧셈과 뺄셈 2차시 분모가 같은 분수의 덧셈을 할 수 있어요

▲ 초등 수학 1-1, 3단원 3차시(사진: 직접촬영)

초등학교에 처음 입학하고 배우게 되는 것 중 하나는 바로 ‘1+2=3’와 같은 자연수의 덧셈입니다. 이 글을 읽고 있는 지금의 여러분에게는 그야말로 식은 죽 먹기인 계산일 텐데요, 이런 기초적인 원리는 이후에 점차 복잡한 개념들을 배워가는 데에 기초가 되어준답니다.

▲ 초등 수학 4-1. 4단원 2차시(사진: 직접촬영)

이를 테면 4학년이 되면 분수의 덧셈과 뺄셈에 대하여 배우게 되는 데요, ‘1/7+2/7’과 같은 식은 어떻게 계산해야 할까요? 1학년 때 배웠던 것처럼 분자의 1과 2를 더해 3이라는 값을 알아내게 되면 답은 3/7이 된다는 것을 어렵지 않게 알 수 있을 것입니다. ‘아는 것을 통해서 그와 비슷한 새로운 것을 알아내는’ 수학에서의 유추적 사고는 이러한 문제에서 찾아볼 수 있습니다.

○ 5학년 1학기 5단원 다각형의 넓이 7-8차시 평행사변형의 넓이를 구할 수 있어요

5학년 1학기 5단원 다각형의 넓이 9-10차시 삼각형의 넓이를 구할 수 있어요

5학년 1학기 5단원 다각형의 넓이 11-12차시 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있어요

▲ 초등 수학 5-1, 5단원 7~8차시(사진: 직접촬영)

예시를 하나 더 살펴볼까요? 5학년이 되면 다각형들의 넓이를 구하는 방법을 배우게 됩니다. 이 때 학생들은 우선 평행사변형의 넓이는 ‘(밑변)×(높이)’로 나타낼 수 있다는 것을 알게 되지요.

▲ 초등 수학 5-1, 5단원 9~10차시(사진: 직접촬영)

그런데 이어서 익히게 되는 삼각형의 넓이를 구하는 방법은 이와 같은 평행사변형의 넓이를 구하는 방법에서 힌트를 얻을 수 있습니다. 왜 그럴까요? 평행사변형의 마주보는 꼭짓점들을 이어 대각선을 그어보면 어떤 도형들이 보이나요? 그렇지요, 하나의 평행사변형이 똑같이 생긴 두 개의 삼각형으로 나누어지게 됩니다. 그래서 삼각형의 넓이는 ‘(밑변)×(높이)÷2’가 되는 것입니다.

▲ 초등 수학 5-1, 5단원 11~12차시(사진: 직접촬영)

사다리꼴의 넓이를 구하는 방법 역시 평행사변형의 넓이를 구하는 방법과 관련이 있습니다. 윗변과 아랫변의 길이가 다른 사다리꼴 두 개를 반대로 이어붙이면 평행사변형이 되기 때문이죠. 사다리꼴의 넓이는 ‘{(윗변)+(아랫변)}×(높이)÷2’인 이유입니다. 앞서 배운 평행사변형을 통해 삼각형, 사다리꼴과 같은 다른 다각형들의 넓이를 구하는 방법을 짐작해볼 수 있기에 이 또한 유추적 사고가 반영되었다고 말할 수 있는 것입니다.

이 밖에도 개별의 사례들을 바탕으로 그 집합 전체에 대한 성질을 알아내는 ‘일반성’, 반대로 어느 대상의 집합에서 그 집합에 속하며 보다 대상의 범위가 작은 집합으로 고찰하는 ‘특수성’, 어떤 구체물의 집합에서 각 구체물이 가지고 있는 속성 중에서 공통적인 성질만을 추출하는 ‘추상성’, 수학적 과정과 활동은 고정된 상태가 아니라 계속 살아 움직임을 뜻하는 ‘역동성’, 어떤 기초적인 내용을 토대로 새로운 내용을 구성하는 조합적인 체계인 ‘계통성’, 수학적 대상의 구성 요소나 단위의 크기 또는 그들 사이의 관계에 주목하는 ‘단위의 사고’, 수학화의 대상들의 적용범위를 보다 넓게 해보거나 더 나은 방법 또는 전력을 추구하는 ‘발전적 사고’ 등의 다양한 개념들이 초등학교 수학 교과서 곳곳에 녹아들어 있답니다. 마치 재미있는 숨바꼭질 같지요. 어렵게만 느껴지던 수학 문제들의 실마리가 조금은 잡히나요?

그래도 아직 많은 친구들에게 수학이란 영영 친해지지 못할 친구처럼 느껴질 수도 있겠지요. 하나의 문제에 대한 하나의 답만이 존재하는 딱딱한 과목 수학, 나중에 별로 필요하지도 않을 것 같은데 왜 이렇게 배울 게 많은지 머리가 아픈 과목 수학. 그런데 사실 수학을 배우는 과정에서 나타나는 다양한 사고 활동은 상상력이나 유연성이 작용한 결과이며, 따라서 이는 창조적인 사고 능력을 기르게 해준다고 합니다. 정해진 답을 찾아가는 수학을 통해서 논리력 뿐 아니라 창의력 또한 높일 수 있다니 거짓말 같죠? 우리 삶에서 떼어낼 수 없는 존재인 수학은 이렇게 다양한 매력을 지니고 있답니다.